В российской региональной экономике широко применяются полюсные индикаторы поляризации, построенные как разрыв или отношение между группами регионов-лидеров и регионов-аутсайдеров, однако их устойчивость систематически не проверяется. Проверка выполнена на полных ранжированных рядах российского регионального инновационного индекса за семь выпусков рейтинга ИСИЭЗ НИУ ВШЭ 2015–2025 годов (593 наблюдения). Предложен контролируемый эксперимент, в котором направление изменения поляризации задано по построению двумя преобразованиями распределения, причём для первого рост канонической меры выводится из свойств преобразования, а не постулируется. Все три полюсных индикатора при уплотнении полюсных групп снижаются на 11,0–16,4 процента, тогда как обе канонические меры поляризации растут, а при растяжении хвостов реагируют в шесть-девять раз сильнее индекса Вольфсона. Знак сводной характеристики разделяет показатели без единого пересечения на 63 наблюдениях, сохраняется при любом размере полюсной группы от 3 до 25 и на трёх семействах синтетических распределений. Калибровка шкалы по индексу Дюкло-Эстебана-Рэя даёт полюсным индикаторам эквивалент параметра чувствительности от 0,14 до 0,16 и ниже при аксиоматическом минимуме 0,25; показано также, что этот индекс однороден степени (1 – α) и требует нормировки на среднее. Второй результат состоит во внутренней несогласованности семейства: два варианта одного индикатора, различающиеся выбором между медианой и средним в знаменателе, расходятся по направлению в двух парах изданий из 21, тогда как коэффициент вариации и индекс Джини не расходятся ни в одной. Предложены поправка конструкции и протокол верификации из шести элементов.

региональная экономика, инновационное развитие, пространственная поляризация, межрегиональное неравенство, индекс Вольфсона, индекс Дюкло-Эстебана-Рэя, композитные индикаторы, контролируемый эксперимент.

Introduction. Polar indicators of polarization, built as the gap or ratio between leading and lagging regional groups, are widely used in Russian regional economics, yet their robustness is rarely tested. Aim. To determine which distributional property such indicators actually measure and to derive a verification protocol. Methods. Three polar indicators and four distribution-wide measures are computed on complete ranked series of the Russian Regional Innovation Index across seven editions of the HSE ISSEK ranking, 2015 to 2025 (593 observations). A controlled experiment fixes the direction of the change in polarization by construction through two transformations; for the first, the rise of the canonical measure follows from the properties of the transformation rather than being assumed. Results. Under a compression of the polar groups all three polar indicators fall by 11.0 to 16.4 percent while both canonical polarization measures rise; under a stretching of the tails they respond six to nine times more strongly than the Wolfson index. The sign of the summary ratio separates the measures without a single overlap across 63 observations, holds for any polar group size from 3 to 25 and on three families of synthetic distributions. Calibration against the Duclos-Esteban-Ray index assigns the polar indicators sensitivity-parameter equivalents of 0.14 to 0.16 and below, against an axiomatic minimum of 0.25. The index is also shown to be homogeneous of degree (1 – alpha). Conclusion. Polar indicators measure inequality rather than polarization; a correction restoring the required response is proposed, with a six-element protocol.

regional economics, innovation development, spatial polarization, interregional inequality, Wolfson index, Duclos-Esteban-Ray index, composite indicators, controlled experiment.

Введение

Пространственная неравномерность инновационного развития остаётся одной из ключевых проблем региональной экономики России: концентрация научно-технического потенциала в ограниченном числе субъектов и устойчивое отставание периферии фиксируются в исследованиях на протяжении полутора десятилетий [1; 2]. Практическая значимость точного измерения этой неравномерности связана с задачами территориального планирования и распределения федеральных инструментов поддержки.

При эмпирической оценке разрыва между регионами-лидерами и периферией в отечественной литературе распространены полюсные индикаторы: показатели, построенные как разность или отношение между усреднёнными значениями по группе лучших и группе худших регионов, нормированные на характеристику центра распределения. Их привлекательность объясняется прозрачностью расчёта и наглядностью интерпретации. Вместе с тем в большинстве работ такие показатели применяются без проверки на устойчивость: не исследуется зависимость результата от базы нормировки, от размера полюсной группы, от выбора пары сопоставляемых моментов времени, от состава совокупности субъектов и от поведения хвостов распределения.

Между тем в теории измерения распределений давно установлено, что неравенство и поляризация являются различными свойствами и могут изменяться в противоположных направлениях [3; 4; 5], поэтому произвольно сконструированный полюсный показатель способен систематически расходиться с обоими классами мер. Цель работы состоит в установлении того, какое свойство распределения фактически регистрируют полюсные индикаторы поляризации инновационного развития регионов России, и в разработке протокола их верификации. Проверяемая гипотеза состоит в том, что вывод, получаемый с помощью такого индикатора, определяется не свойствами распределения, а методическими решениями исследователя; она считается подтверждённой, если два варианта одного индикатора, различающиеся только одним из таких решений, дают на одних и тех же данных выводы противоположного знака.

Научная новизна заключается в четырёх результатах. Во-первых, предложен контролируемый эксперимент, в котором направление изменения поляризации задано по построению, причём для основного преобразования рост канонической меры выводится из его свойств, а не постулируется. Во-вторых, отклик масштабно-инвариантного индекса Дюкло-Эстебана-Рэя в том же эксперименте использован как калибровочная шкала, обращение которой сопоставляет произвольному показателю эквивалентное значение параметра чувствительности к поляризации. В-третьих, установлено, что этот индекс в применяемой записи однороден степени (1 – α), вследствие чего сопоставление его уровней смешивает сдвиг уровня композитного индекса с изменением формы распределения. В-четвёртых, предложена поправка полюсной конструкции, восстанавливающая требуемый отклик на рост идентификации и устраняющая произвольный параметр размера группы.

1. Теоретические основания

Различие между неравенством и поляризацией составляет самостоятельный раздел теории измерения распределений. М. Вольфсон показал, что скалярные меры неравенства способны вводить в заблуждение при анализе изменений формы распределения, в частности при сокращении срединной группы [3; 6], а Х. Эстебан и Д. Рэй предложили аксиоматическую теорию поляризации, подчёркивая её отличие от теории измерения неравенства [4].

Содержательное различие описывается парой свойств: отчуждение отражает удалённость групп друг от друга, идентификация внутригрупповую однородность. Меры неравенства удовлетворяют принципу трансфертов Пигу-Дальтона: любой уравнивающий перенос снижает значение показателя. Меры поляризации этому принципу не удовлетворяют, поскольку уплотнение группы повышает её идентификацию и, следовательно, поляризацию, одновременно снижая неравенство [5]. Именно поэтому ни одна мера неравенства не является корректной мерой поляризации. Наиболее употребительной мерой бимодальной поляризации выступает индекс Вольфсона, строящийся на разделении совокупности медианой:

P_W = 2 (2T – G) (μ / m),

где G есть коэффициент Джини всей совокупности; T = 0,5 – L(0,5), где L(0,5) есть доля суммарного значения показателя, приходящаяся на нижнюю половину распределения; μ есть среднее; m есть медиана. Множитель (μ / m) делает индекс чувствительным к смещению середины относительно полюсов. Вторая каноническая мера, индекс Дюкло-Эстебана-Рэя, вводит явный параметр чувствительности α:

P_α = ∫∫ f(x)^α |y – x| dF(x) dF(y).

При α = 0 индекс сводится к средней абсолютной разности, то есть к чистой мере неравенства, а при росте α усиливается вклад плотных групп, то есть свойство идентификации; аксиоматика допускает значения α от 0,25 до 1 [5]. Существенно, что в этой записи индекс не является масштабно-инвариантным: при умножении всех значений на λ плотность делится на λ, и прямое интегрирование даёт P_α(λX) = λ^1–α P_α(X). Следовательно, сопоставление уровней индекса между наблюдениями с различающимся средним требует нормировки на μ^1–α; без неё изменение уровня композитного индекса будет ошибочно засчитано как изменение поляризации. В прикладных работах это обстоятельство, как правило, не оговаривается.

Наличие двух канонических мер, сконструированных для регистрации вымивания середины, позволяет использовать их как контрольные. Вместе с тем расхождение произвольного индикатора с ними само по себе не свидетельствует о дефекте измерителя: теория такое расхождение прямо предсказывает [3; 4; 5]. В отечественной литературе меры поляризации в узком смысле применяются редко: обзор их видов представлен В. Ю. Кузиным [7], оценка поляризации доходов населения регионов выполнена Е. А. Чекмарёвой и А. И. Россошанским [8], применительно к периоду экономической трансформации аппарат поляризации использовался Л. Фёдоровым [9]. Основной массив работ по межрегиональному неравенству опирается на декомпозицию индекса Тейла, коэффициент Джини и коэффициент вариации [10; 11], тогда как В. В. Алтунина и Д. А. Анучина констатируют отсутствие единой методики оценки уровня пространственной поляризации российских регионов [12; 13].

2. Данные и методика

2.1. Информационная база

Эмпирической базой служит российский региональный инновационный индекс (РРИИ), рассчитываемый Институтом статистических исследований и экономики знаний НИУ ВШЭ. Использованы полные ранжированные ряды значений сводного индекса по всем субъектам Российской Федерации из семи выпусков рейтинга: третьего, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20], всего 593 наблюдения. Для выпусков 3, 5 и 6 числовые ряды получены с официальной интерактивной витрины рейтинга, для выпусков 7–10 из сводных таблиц полных текстов аналитических докладов, поскольку машиночитаемых версий таблиц для них в открытом доступе нет. Корректность воспроизведения каждого ряда подтверждена тремя формальными проверками: полнота рангов без пропусков, монотонность убывания значений при возрастании ранга и совпадение расчётной медианы со значением субъекта, занимающего срединную позицию. Характеристики выпусков приведены в таблице 1.

Таблица 1. Характеристики использованных изданий рейтинга

Источник: составлено автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

Ряд имеет два разрыва методической сопоставимости: между изданиями 2017 и 2019 годов число исходных показателей увеличено с 37 до 53, между выпусками 7 и 8 с 53 до 55. Согласно руководству ОЭСР и Объединённого исследовательского центра, значения композитного индекса, рассчитанные по разным наборам исходных показателей, не являются напрямую сопоставимыми уровнями, а устойчивость выводов подлежит обязательной проверке [21; 22]. Одновременно ряд содержит четыре перехода без изменения методики, что позволяет разделить два источника вариации. Отчётные периоды изданий не образуют равномерной сетки, поэтому издания рассматриваются как дискретные наблюдения, упорядоченные по дате публикации. Выпуск 3 охватывает 83 субъекта против 85 в последующих, поэтому все ключевые расчёты продублированы на сбалансированной панели из 83 субъектов, присутствующих во всех семи выпусках.

2.2. Проверяемые показатели

Проверке подлежат три полюсных индикатора, различающихся базой нормировки и формой свёртки:

IP_m = (X_top – X_bot) / X_med,   IP_μ = (X_top – X_bot) / X_mean,   IP_r = X_top / X_bot,

где X_top обозначает среднее значение РРИИ по группе из k регионов с наибольшими значениями, X_bot среднее по группе из k регионов с наименьшими значениями, X_med и X_mean медиану и среднее по всей совокупности. Базовое значение k принято равным десяти, что соответствует распространённой в отечественной литературе практике выделения первой и последней десятки регионов. Индикаторы IP_m и IP_μ различаются только базой нормировки, поэтому расхождение их выводов на одних и тех же данных прямо указывает на неустойчивость конструкции, а не на содержательный эффект.

В качестве контрольных используются четыре меры, охватывающие всё распределение: коэффициент вариации, индекс Джини, индекс Тейла и индекс Вольфсона; первые три являются мерами неравенства, четвёртая канонической мерой бимодальной поляризации. Коэффициент Джини рассчитан через среднюю абсолютную разность значений, индекс Тейла в форме T-индекса, доля нижней половины L(0,5) получена линейной интерполяцией кривой Лоренца, индекс Дюкло-Эстебана-Рэя с ядерной оценкой плотности и шириной окна по правилу Сильвермана в масштабно-инвариантной форме. Все показатели по всем семи выпускам рассчитаны единым программным конвейером, что исключает расхождения вычислительных соглашений между выпусками.

2.3. Доля противоположных выводов

Стандартный приём сопоставления показателей состоит в сравнении их динамики между начальной и конечной точками ряда и зависит от выбора этих точек: при семи наблюдениях исследователь располагает 21 парой изданий. Чтобы устранить эту зависимость, используется агрегированная характеристика согласованности. Пусть A и B суть два показателя, рассчитанные на одном наборе из N наблюдений. Долей противоположных выводов называется доля пар наблюдений, в которых знаки приращений двух показателей различны:

d(A, B) = 2 / (N (N – 1)) · Σ_i<j I[ sign(A_j – A_i) ≠ sign(B_j – B_i) ].

Значение d = 0 означает, что два показателя дают одинаковый по направлению вывод при любом выборе пары наблюдений, значение d = 0,5 отсутствие систематической связи направлений. При отсутствии совпадающих значений d есть нормированное число дискордантных пар и связана с коэффициентом Кендалла [23] тождеством τ = 1 – 2d; вводится, таким образом, не новая статистика, а её прикладная интерпретация, позволяющая сопроводить описательное значение точным уровнем значимости, вычисляемым при семи наблюдениях полным перебором перестановок. Показатель позволяет сравнивать и контрольные меры друг с другом, что задаёт базу сравнения: если две общепризнанные меры расходятся столь же часто, факт расхождения не может служить основанием для отбраковки индикатора.

2.4. Контролируемый эксперимент

Сопоставление показателей на эмпирических данных устанавливает согласованность их выводов, но не позволяет определить, какое свойство распределения регистрирует показатель: истинное направление изменения поляризации на реальных данных неизвестно и само подлежит измерению. Поэтому применяется контролируемый эксперимент, в котором это направление задано по построению. Из каждого эмпирического распределения строятся два производных. Первое преобразование, обозначаемое A, есть уплотнение полюсных групп: совокупность делится медианой, и каждое значение сближается со средним своей половины на долю λ:

x′ = m_h + (1 – λ) (x – m_h),

где m_h есть среднее той половины, к которой принадлежит наблюдение. Преобразование обладает тремя проверяемыми свойствами. Суммы значений по каждой половине сохраняются, поэтому среднее μ и доля нижней половины не меняются, а T = 0,5 – L(0,5) сохраняется с точностью до интерполяции медианного наблюдения. Все попарные разности внутри каждой половины не возрастают, то есть преобразование есть последовательность уравнивающих переносов, и любая мера, удовлетворяющая принципу трансфертов, обязана не возрасти. Медиана строго убывает, поскольку медианное наблюдение принадлежит нижней половине и является её максимумом. Для индекса Вольфсона отсюда следует рост по двум независимым каналам, что снимает возражение о круговом характере эксперимента.

Второе преобразование, обозначаемое B, есть растяжение хвостов: отклонения от среднего у восьми крайних наблюдений с каждого края умножаются на (1 + λ), после чего распределение перемасштабируется так, чтобы среднее сохранилось; срединная часть не затрагивается, то есть растёт разброс, а вымивания середины не происходит. Значение λ ограничено сверху требованием положительности всех значений: на использованных данных предельное значение составляет 0,320, поэтому расчёты выполнены при λ, равном 0,10, 0,20 и 0,30.

Преобразования применяются к каждому из семи эмпирических распределений, что даёт семь независимых повторений. Для каждого показателя фиксируются два отклика: ρ_A и ρ_B, то есть относительные изменения его значения при переходе к преобразованному распределению. Сводной характеристикой служит отношение

R = ρ_A / |ρ_B|.

Знак R совпадает со знаком ρ_A и указывает измеряемое свойство: положительное значение означает, что показатель растёт при росте идентификации, то есть регистрирует поляризацию, отрицательное, что он при этом убывает, то есть регистрирует неравенство. Модуль R показывает, во сколько раз отклик на изменение формы распределения превосходит отклик на поведение хвостов. Взятие модуля в знаменателе существенно: показатель может снижаться при растяжении хвостов, и отношение без модуля дало бы в этом случае отрицательное значение при положительном ρ_A, исказив классификацию.

3. Результаты

3.1. Описательные характеристики распределений

Упорядоченные по убыванию профили значений РРИИ для всех семи выпусков представлены на рисунке 1. Профили сохраняют общую форму и образуют плотную полосу, внутри которой выпуск 10 расположен выше остальных практически на всём протяжении, что отражает общий сдвиг уровня индекса вверх. Выпуск 9 отличается наиболее глубоким нижним хвостом: минимальное значение составляет 0,0802 против 0,1103 в выпуске 8 и 0,1298 в выпуске 10.

Рисунок 1. Упорядоченные профили значений РРИИ по семи выпускам рейтинга. Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

Количественные характеристики приведены в таблице 2. За период максимум вырос на 10,7 процента, тогда как минимум снизился на 23,4 процента; среднее по десяти лучшим регионам выросло на 8,4 процента, по десяти худшим лишь на 1,4 процента, абсолютный разрыв полюсов расширился на 13,0 процента, медиана выросла на 9,1 процента.

Таблица 2. Описательные характеристики распределений РРИИ

Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

3.2. Контрольные меры и полюсные индикаторы

Значения четырёх контрольных мер и трёх полюсных индикаторов при k = 10 приведены в таблице 3 и на рисунках 2 и 3. Наряду с точечной оценкой изменения за период приводится 95-процентный интервал, полученный бутстрэпом с 5000 репликаций: на каждой репликации субъекты внутри каждого из двух сопоставляемых выпусков извлекаются с возвращением, что позволяет оценить, какая часть измеренного изменения устойчива к составу совокупности.

Таблица 3. Контрольные меры и полюсные индикаторы по семи выпускам

Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

Результат за период в целом состоит в следующем. Три меры неравенства выросли: коэффициент вариации на 3,9 процента, индекс Джини на 2,5 процента, индекс Тейла на 11,0 процента, тогда как каноническая мера поляризации снизилась на 1,2 процента, то есть её направление противоположно направлению всех трёх мер неравенства. Все три полюсных индикатора выросли, то есть согласуются по направлению с мерами неравенства, а не с мерой поляризации. Существен и разброс их величин: три показателя, построенные на одних и тех же полюсных группах и различающиеся только формой свёртки и базой нормировки, дают оценки изменения от 3,7 до 6,9 процента, различающиеся почти вдвое.

Бутстрэп-интервалы показывают, что ни одно из точечных изменений за десятилетие не отделимо от нуля при учёте вариации состава совокупности; для индекса Вольфсона доля репликаций, воспроизводящих знак точечной оценки, составляет 0,53. Корректная формулировка поэтому такова: каноническая мера поляризации усиления не показывает, тогда как меры неравенства показывают прирост, также лежащий в пределах интервальной неопределённости. Основной вывод работы строится не на величине этих изменений, а на сопоставлении показателей между собой.

Рисунок 2. Динамика мер, охватывающих всё распределение, издание 2015 года принято за 100. Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

Пошаговое сопоставление уточняет картину: в четырёх переходах без изменения методики все четыре контрольные меры движутся согласованно. Прямая проверка предположения о том, что пересмотры методики являются главным источником нестабильности, данными не подтверждается: ни у одного из семи показателей средний модуль приращения на переходах с пересмотром не превышает среднего модуля на переходах без него (для коэффициента вариации 3,4 против 5,4 процента, для индекса Вольфсона 4,4 против 6,1). Наибольшее приращение приходится на переход 2023–2024 годов, не сопровождавшийся пересмотром и отличающийся аномально глубоким нижним хвостом.

Рисунок 3. Полюсные индикаторы и канонический индекс поляризации, издание 2015 года принято за 100. Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

3.3. Контролируемый эксперимент

Приведённые выше сопоставления устанавливают согласованность выводов, но не то, какое свойство показатель измеряет. Контролируемый эксперимент, описанный в разделе 2.4, задаёт направление изменения поляризации по построению. Результаты, усреднённые по семи повторениям, приведены в таблице 4 и на рисунке 4; последняя строка таблицы относится к исправленной конструкции, вводимой в разделе 3.4.

Таблица 4. Отклик показателей на преобразования с известным направлением изменения поляризации

Источник: рассчитано автором. λ = 0,30, восемь крайних наблюдений в преобразовании B, k = 10 для полюсных индикаторов. Индекс ДЭР рассчитан в масштабно-инвариантной форме. α-эквивалент получен обращением калибровочной кривой.

Рисунок 4. Отклик показателей на преобразование A (уплотнение полюсных групп) и на преобразование B (растяжение хвостов), среднее по семи выпускам, λ = 0,30. Источник: рассчитано автором.

Результат по преобразованию A однозначен. Поляризация при нём растёт по построению, и обе канонические меры это фиксируют: индекс Вольфсона возрастает на 30,4 процента, масштабно-инвариантный индекс Дюкло-Эстебана-Рэя при α = 1 на 6,7 процента. Три меры неравенства, как и требует принцип трансфертов, снижаются на 9,2–21,6 процента. Все три полюсных индикатора также снижаются, на 11,0–16,4 процента: в ситуации, где поляризация заведомо усилилась, они регистрируют её ослабление, причём величина их отклика попадает внутрь диапазона откликов мер неравенства. Преобразование B дополняет картину с другой стороны: растяжение хвостов, не затрагивающее срединную часть распределения, вызывает у индекса Вольфсона отклик всего +4,0 процента, тогда как полюсные индикаторы реагируют приростом на 25,7–35,1 процента, то есть в шесть-девять раз сильнее канонической меры.

Сводная характеристика R разделяет показатели по знаку без единого пересечения: канонические меры поляризации дают положительные значения (+7,60 у индекса Вольфсона, +1,40 у индекса Дюкло-Эстебана-Рэя при максимальной чувствительности), меры неравенства и все три полюсных индикатора отрицательные (от –0,42 до –0,64). Разделение сохраняется на уровне отдельных повторений: наибольшее значение R в объединённой группе мер неравенства и полюсных индикаторов составляет –0,38, наименьшее в группе мер поляризации +0,54, то есть ни одно из 63 значений, полученных для девяти показателей на семи распределениях, не попадает на чужую сторону нуля. Индекс Дюкло-Эстебана-Рэя при α = 0,50 в этот подсчёт не включён, поскольку по построению занимает середину шкалы между двумя свойствами, что подтверждается значением R = +0,05.

Устойчивость проверена по параметрам самого эксперимента. При изменении λ от 0,10 до 0,30 значение R для полюсных индикаторов остаётся в пределах от –0,35 до –0,64, для индекса Вольфсона от +7,28 до +7,76; при изменении числа крайних наблюдений в преобразовании B от четырёх до двенадцати соответственно от –0,37 до –1,08 и от +4,05 до +24,06. Принципиально, что отрицательный знак R у полюсных индикаторов сохраняется при любом размере полюсной группы: при k от 3 до 25 значения лежат в пределах от –0,16 до –0,72, то есть рассмотренные конструкции не являются мерами поляризации ни при каком выборе k. Эксперимент повторён и на синтетических распределениях, не связанных с формой РРИИ: логнормальном, бета-распределении с параметрами 2 и 5 и смеси двух нормальных, по 60 выборок объёмом 85 наблюдений. Значения R для полюсных индикаторов остаются отрицательными во всех трёх семействах, для индекса Вольфсона положительными (от +7,58 до +8,35), то есть вывод относится к свойствам самих конструкций и не зависит ни от эмпирической базы, ни от формы распределения.

Эмпирические корреляции согласуются с результатом эксперимента: по уровням семи наблюдений связь полюсных индикаторов с коэффициентом вариации, индексом Джини и индексом Тейла составляет от +0,78 до +0,97, тогда как с индексом Вольфсона от +0,44 до +0,71; наименьшая связь во всех трёх случаях наблюдается именно с канонической мерой поляризации.

3.4. Калибровка шкалы и исправленная конструкция

Индекс Дюкло-Эстебана-Рэя содержит явный параметр чувствительности к поляризации, поэтому его отклик в эксперименте задаёт калибровочную шкалу. Величина R как функция α строго монотонно возрастает от –0,541 при α = 0 до +1,400 при α = 1, что позволяет обратить её и сопоставить произвольному показателю эквивалентное значение параметра; внутренняя корректность калибровки подтверждается тем, что для индекса Джини обращение даёт α = 0,00, поскольку при α = 0 нормированный индекс тождественно равен удвоенному коэффициенту Джини.

Результат обращения приведён в последнем столбце таблицы 4. Отношение полюсов соответствует α = 0,14, разрыв, нормированный на медиану, α = 0,16, а разрыв, нормированный на среднее, оказывается ниже нижней границы шкалы, то есть менее чувствительным к поляризации, чем чистая мера неравенства. Все три значения лежат строго ниже 0,25, то есть ниже границы диапазона, в котором индекс удовлетворяет аксиоматике меры поляризации [5]; более того, индекс Тейла, заведомая мера неравенства, получает α = 0,17, то есть оказывается чувствительнее к поляризации, чем любой из трёх полюсных индикаторов.

Полученная диагностика допускает конструктивное продолжение. Отклик на преобразование A отрицателен у полюсных индикаторов потому, что уплотнение групп сближает средние по полюсным группам со средними по половинам, сокращая числитель, тогда как знаменатель, характеризующий центр распределения, меняется слабо. Требуемый отклик восстанавливается, если нормировать разрыв не на характеристику центра, а на внутригрупповой разброс, то есть привести конструкцию в соответствие с парой свойств отчуждение и идентификация:

IP_id = (μ_hi – μ_lo) / (σ_hi + σ_lo),

где μ_hi, μ_lo и σ_hi, σ_lo суть средние и средние квадратические отклонения по верхней и нижней половинам совокупности, разделённым медианой. По форме это стандартизованная разность групповых средних, известная в статистике как мера размера эффекта; новизна состоит не в самой конструкции, а в её применении к задаче измерения поляризации, где отношение межгруппового расхождения к внутригрупповому разбросу прямо отвечает паре свойств отчуждение и идентификация. Показатель безразмерен и масштабно-инвариантен, а произвольный параметр k в нём отсутствует по построению. В эксперименте IP_id даёт ρ_A = +42,9 процента, то есть реагирует на рост идентификации сильнее индекса Вольфсона, и ρ_B = –13,5 процента, то есть снижается при чистом растяжении хвостов; R = +3,17 при разбросе по семи повторениям от +3,01 до +3,31. На синтетических распределениях значения R составляют от +2,26 до +3,10.

Эмпирическая проверка подтверждает диагноз: за 2015–2025 годы IP_id снизился на 4,84 процента, совпав по направлению с обеими каноническими мерами и разойдясь со всеми тремя исходными индикаторами. Число расхождений с индексом Вольфсона составляет 4 пары из 21 против 5, 7 и 7 у исходных индикаторов, корреляция уровней с ним +0,752 против +0,353 с коэффициентом Джини. Ограничение поправки требует явного указания: внутригрупповое среднее квадратическое отклонение само чувствительно к крайним наблюдениям, поэтому IP_id не проходит проверку на усечение хвостов (–4,84 процента на полных распределениях, +1,19 при усечении по три субъекта с каждого края). Поправка устраняет смешение поляризации с неравенством, но не зависимость от хвостов, и применима только вместе с публикацией результатов усечения.

3.5. Проверка по всем парам изданий

Вывод, основанный на сопоставлении двух крайних точек ряда, зависит от выбора этих точек. Поэтому все 21 пара изданий рассмотрены совместно: доля противоположных выводов получается делением числа расходящихся пар на 21.

Базу сравнения задают сами контрольные меры. Коэффициент вариации и индекс Джини не расходятся ни в одной паре изданий (d = 0,000); индекс Тейла расходится с ними в трёх парах (d = 0,143), а с индексом Вольфсона в шести (d = 0,286), что отражает не дефект измерителей, а теоретически предсказанное различие между неравенством и поляризацией. На этом фоне расхождение полюсных индикаторов с индексом Вольфсона в пяти-семи парах само по себе основанием для отбраковки не является. Решающим оказывается другое: полюсные индикаторы расходятся между собой. Индикаторы IP_m и IP_μ различаются исключительно базой нормировки, однако расходятся в двух парах из 21 (d = 0,095): в паре изданий 2019 и 2023 годов IP_m снижается на 1,5 процента, а IP_μ растёт на 1,5 процента. Индикаторы IP_m и IP_r расходятся в четырёх парах (d = 0,190).

Коэффициенты Кендалла с точными уровнями значимости приведены в таблице 5; тождество τ = 1 – 2d подтверждается на всех парах.

Таблица 5 Коэффициенты ранговой корреляции Кендалла и точные уровни значимости (n = 7)

Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

На полной совокупности согласованность коэффициента вариации и индекса Джини с индексом Вольфсона значима на пятипроцентном уровне, тогда как согласованность полюсных индикаторов с ним значимости не достигает; контраст, однако, неустойчив, поскольку на сбалансированной панели коэффициент вариации, индекс Джини и IP_m дают одинаковое τ = +0,429 при p = 0,239. При семи наблюдениях мощность критерия недостаточна, поэтому проверка значимости приводится как оговорка, а не как аргумент. Устойчивым при ужесточении процедуры оказывается аргумент о внутренней несогласованности: на сбалансированной панели расхождения между IP_m и IP_r возрастают с четырёх пар до семи, между IP_m и IP_μ с двух до трёх, тогда как коэффициент вариации и индекс Джини по-прежнему не расходятся ни в одной паре.

3.6. Чувствительность к размеру полюсной группы

Результаты пересчёта при различных размерах полюсной группы приведены в таблице 6 и на рисунке 5.

Таблица 6 Изменение полюсных индикаторов в зависимости от размера полюсной группы, %

Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

Рисунок 5. Изменение полюсных индикаторов за период в зависимости от размера полюсной группы. Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

Установлены два типа неустойчивости. Первый есть неустойчивость знака: на подпериоде 2015–2019 годов отношение полюсов растёт на 8,9 процента при k = 5 и снижается на 0,8 процента при k = 10, а разрыв, нормированный на среднее, меняет знак при переходе от k = 10 к k = 12; на сбалансированной панели знак за этот подпериод меняют все три индикатора, а IP_m меняет его и за период в целом при k = 20. Второй есть неустойчивость величины: за 2015–2025 годы при устойчивом положительном знаке величина изменения нормированного на медиану разрыва падает с 11,0 процента при k = 5 до 0,4 процента при k = 20, то есть различается более чем в двадцать раз, а для отношения полюсов диапазон составляет от 24,5 до 2,8 процента. Поскольку выбор k в публикациях, как правило, не обосновывается, оценка масштаба изменения поляризации оказывается фактически свободным параметром.

3.7. Проверка на второй канонической мере поляризации

Корректность реализации индекса Дюкло-Эстебана-Рэя подтверждается точным совпадением значения при α = 0 с удвоенным произведением среднего на коэффициент Джини по каждому из семи выпусков, а численная проверка однородности при удвоении всех значений с машинной точностью воспроизводит 2^1–α. Поскольку среднее РРИИ за период выросло на 6,8 процента, сопоставление уровней ненормированного индекса содержит механическую компоненту μ^1–α – 1. Результаты в обеих формах приведены в таблице 7 и на рисунке 6.

Таблица 7 Индекс Дюкло-Эстебана-Рэя: измеренное изменение за 2015–2025 годы

Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20]. Диапазон получен варьированием ширины окна ядерной оценки от 0,5 до 2,0 значения по правилу Сильвермана.

Рисунок 6. Измеренное изменение индекса Дюкло-Эстебана-Рэя за 2015–2025 годы в зависимости от параметра чувствительности α, в ненормированной и в масштабно-инвариантной форме. Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

Сопоставление третьего и четвёртого столбцов показывает, что убывание измеренного изменения с 9,42 до 0,01 процента при росте α почти целиком воспроизводит угасание масштабного множителя, а не рост чувствительности к поляризации: при α = 0,25 механическая компонента (+5,05 процента) объясняет практически всё измеренное изменение (+5,46 процента), а при α = 0,50 и α = 0,75 измеренное изменение оказывается меньше механической компоненты. Вывод об убывании измеренной поляризации по ненормированному индексу был бы артефактом сдвига уровня композитного индекса. После нормировки изменение составляет +2,46 процента при α = 0, убывает до +0,39 процента при α = 0,25 и далее не отличимо от нуля, а точечное значение при α = 1 лежит внутри интервала от –2,43 до +0,79 процента по ширине окна. Ни при каком значении параметра масштабно-инвариантный индекс не воспроизводит прироста от 3,7 до 6,9 процента, фиксируемого полюсными индикаторами.

Принципиальное различие двух конструкций состоит в прозрачности: в индексе Дюкло-Эстебана-Рэя чувствительность к поляризации и требование масштабной инвариантности заданы явно, тогда как в полюсном индикаторе оба решения приняты неявно, и, как показал раздел 3.4, неявно принятое значение параметра чувствительности лежит вне допустимого диапазона.

3.8. Устойчивость к поведению хвостов распределения

Полюсные индикаторы по конструкции опираются на хвосты распределения, поэтому естественной проверкой является последовательное усечение крайних наблюдений. Проверка применена к контрольным мерам, на которых строится сопоставление; результаты приведены в таблице 8 и на рисунке 7.

Таблица 8 Изменение контрольных мер за 2015–2025 годы при усечении крайних наблюдений, %

Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

Рисунок 7. Измеренное изменение контрольных мер за 2015–2025 годы в зависимости от глубины усечения хвостов распределения. Источник: рассчитано автором по данным [14; 15; 16; 17; 18; 19; 20].

Результат требует прямой констатации. Зафиксированный в разделе 3.2 рост трёх мер неравенства за десятилетие не устойчив к усечению: при удалении двух субъектов с каждого края индекс Джини уже снижается, при удалении трёх снижаются все три меры неравенства, при удалении пяти снижение достигает 4,0–8,5 процента. Индекс Вольфсона сохраняет отрицательный знак при любой глубине усечения.

Раздельное усечение локализует источник: при удалении трёх верхних наблюдений рост мер неравенства сохраняется и усиливается (коэффициент вариации +4,2 процента, индекс Тейла +12,3 процента), при удалении трёх нижних обращается (–0,7 и –1,7 процента). Весь измеренный прирост неравенства порождён нижним хвостом: минимум по совокупности снизился за период на 23,4 процента при росте среднего по десяти нижним регионам на 1,4 процента. Знаки приращений по шести переходам при этом сохраняются, то есть пошаговая динамика устойчива, а сквозная оценка за десятилетие определяется небольшим числом крайних наблюдений. Полюсные индикаторы, вычисляемые именно по хвостам, наследуют эту зависимость в полной мере, что подтверждается их откликом на преобразование B.

4. Обсуждение

Первый вывод касается измеряемого свойства и получен в контролируемом эксперименте. При уплотнении полюсных групп, повышающем идентификацию и снижающем неравенство, обе канонические меры поляризации растут, а все три полюсных индикатора снижаются, воспроизводя отклик мер неравенства; при растяжении хвостов они реагируют в шесть-девять раз сильнее индекса Вольфсона. Знак сводной характеристики разделяет показатели без единого пересечения на 63 наблюдениях, сохраняется при варьировании параметров эксперимента, при любом размере полюсной группы и на синтетических распределениях. Обращение калибровочной кривой показывает, что неявная чувствительность полюсных индикаторов к поляризации соответствует значениям параметра от 0,14 до 0,16 и ниже при аксиоматическом минимуме 0,25, тогда как индекс Тейла, заведомая мера неравенства, получает 0,17. Различие не терминологическое: мера поляризации регистрирует вымивание срединной группы, то есть процесс, интерпретируемый в региональной политике как формирование устойчивого разрыва между ядром и периферией [24], и переход от мер неравенства к мерам поляризации способен менять содержательную картину пространственного развития [25].

Второй вывод касается основания для отбраковки. Расхождение полюсного индикатора с индексом Вольфсона само по себе таким основанием не является: теория прямо предсказывает противоположную динамику неравенства и поляризации [26], и между самими контрольными мерами расхождения достигают шести пар из 21. Не является достаточным основанием и проверка на статистическую значимость: при семи наблюдениях мощность критерия невелика, и контраст, полученный на полной совокупности, исчезает на сбалансированной панели. Основанием служит внутренняя несогласованность семейства: две общепризнанные меры неравенства не расходятся ни в одной паре изданий ни на полной совокупности, ни на панели, тогда как два варианта полюсного индикатора, различающиеся исключительно базой нормировки, расходятся в двух и в трёх парах. Показатель, меняющий знак вывода при подстановке равноправной базы нормировки, не может считаться измерителем свойства распределения.

Третий вывод касается механизма смещения и допускает конструктивное продолжение. Нормировка на характеристику центра вводит зависимость от величины, слабо реагирующей на уплотнение групп, тогда как числитель при уплотнении сокращается; на подпериоде 2015–2019 годов это привело к росту индикатора на 2,3 процента при фактическом сокращении разрыва полюсов на 3,1 процента. Замена знаменателя на внутригрупповой разброс восстанавливает требуемый отклик и устраняет произвольный параметр k, однако сохраняет чувствительность к крайним наблюдениям, поэтому не отменяет требования публиковать результаты усечения. Аналогичная проблема известна в литературе по композитным индикаторам и служит основанием для требования обязательного анализа чувствительности [21; 22]; аппарат сопоставления композитных индексов по устойчивости ранжирования развит Дж. Фостером, М. Макгилливреем и С. Сетхом [27].

Отдельного комментария заслуживает произвольность размера полюсной группы: в прикладных работах по измерению поляризации границы групп выводятся из формы распределения [28], тогда как в полюсных индикаторах размер группы задаётся исследователем и не обосновывается. Полученные результаты уточняют картину, сложившуюся в отечественной литературе, где индексный анализ дифференциации регионов выполнялся средствами мер неравенства [29], тогда как выводы формулировались в терминах поляризации.

4.1. Протокол верификации полюсных индикаторов

На основании изложенного предлагается протокол, включающий шесть обязательных элементов.

• Проверка отклика показателя на контролируемое преобразование с известным направлением изменения поляризации. Показатель, снижающийся при уплотнении групп, регистрирует неравенство, и термин поляризация в формулировке вывода неприменим.
• Сопоставление с не менее чем одной мерой, охватывающей всё распределение, и не менее чем одной канонической мерой поляризации в масштабно-инвариантной форме на тех же данных. Расхождение с мерой поляризации требует отказа от термина поляризация в формулировке вывода.
• Проверка по всем парам наблюдений ряда, а не по двум крайним точкам, с публикацией доли противоположных выводов и того же показателя для пары общепризнанных мер того же класса, задающей базу сравнения.
• Варьирование базы нормировки. Индикатор, меняющий знак вывода при замене медианы средним, к применению не пригоден.
• Анализ чувствительности к размеру полюсной группы с публикацией всего исследованного диапазона, а не единственного значения.
• Проверка устойчивости к составу совокупности и к хвостам распределения: расчёт на сбалансированной панели наблюдений, присутствующих во всех точках ряда, и последовательное усечение крайних наблюдений с публикацией глубины, при которой знак вывода обращается.

Соблюдение этих требований не является формальностью: в рассмотренном случае отказ от любого из шести элементов допускал бы публикацию вывода об усилении пространственной поляризации инновационного развития, не подтверждаемого ни одной из двух канонических мер на тех же данных и опровергаемого прямым экспериментом.

4.2. Ограничения исследования

• Ряд содержит семь наблюдений. Этого достаточно для сопоставления показателей по устойчивости, но недостаточно для различения показателей по критерию статистической значимости: как показано в разделе 3.4, результат такой проверки меняется при смене панели. Приведённые значения доли противоположных выводов носят описательный характер.
• Оценки изменения контрольных мер и полюсных индикаторов за десятилетие не отделимы от нуля с учётом бутстрэп-неопределённости состава совокупности. Выводы работы построены на попарном сопоставлении показателей, рассчитанных на одних и тех же данных, где общая для них компонента вариации не влияет на результат.
• Отчётные периоды изданий не образуют равномерной сетки, а методика построения рейтинга пересматривалась дважды. Содержательные выводы о фактической динамике пространственной неравномерности инновационного развития России не формулируются: предметом анализа является поведение показателей, а не динамика самого явления.
• Эмпирическая часть выполнена на данных одного композитного индекса, поэтому перенос количественных оценок на иные региональные индикаторы требует отдельной проверки. Вывод о классе измеряемого свойства этим ограничением не затронут, поскольку получен в контролируемом эксперименте на преобразованиях, применимых к произвольному распределению, и воспроизведён на трёх семействах синтетических распределений; вместе с тем эксперимент воспроизводит два типовых сценария изменения формы, тогда как реальные изменения могут представлять собой их комбинацию.

Заключение

Проведённая на семиточечном ряду российского регионального инновационного индекса проверка показала, что распространённые полюсные индикаторы пространственной поляризации не измеряют того свойства, которое им приписывается, и не обладают достаточной устойчивостью.

Первым и основным результатом является прямое установление измеряемого свойства. В контролируемом эксперименте уплотнение полюсных групп повышает индекс Вольфсона на 30,4 процента и масштабно-инвариантный индекс Дюкло-Эстебана-Рэя на 6,7 процента, тогда как все три полюсных индикатора снижаются на 11,0–16,4 процента, то есть указывают направление, противоположное истинному. Знак сводной характеристики разделяет показатели без единого пересечения на 63 наблюдениях и сохраняется при варьировании параметров эксперимента, при любом размере полюсной группы от 3 до 25 и на синтетических распределениях трёх семейств. Калибровка шкалы даёт полюсным индикаторам эквивалент параметра чувствительности 0,14 и 0,16, а для варианта с нормировкой на среднее решения не существует вовсе, тогда как аксиоматика требует не менее 0,25.

Вторым результатом является внутренняя несогласованность семейства полюсных показателей. Коэффициент вариации и индекс Джини не расходятся по направлению ни в одной из 21 пары изданий ни на полной совокупности, ни на сбалансированной панели из 83 субъектов, тогда как два варианта полюсного индикатора, различающиеся исключительно базой нормировки, расходятся в двух и в трёх парах, а различающиеся формой свёртки в четырёх и в семи; при ужесточении процедуры расчёта несогласованность возрастает.

Анализ чувствительности показал, что величина измеренного изменения при устойчивом знаке различается более чем в двадцать раз в зависимости от размера полюсной группы, а на отдельных подпериодах меняется и знак. Индекс Дюкло-Эстебана-Рэя в применяемой записи однороден степени (1 – α) и требует нормировки на среднее, после которой ни при каком допустимом значении параметра он не воспроизводит прироста, фиксируемого полюсными индикаторами. Проверка усечением хвостов дала самостоятельный результат: измеренный за 2015–2025 годы рост трёх мер неравенства обращается при удалении трёх субъектов с каждого края и целиком порождается нижним хвостом. Предложена поправка полюсной конструкции, нормирующая разрыв половин совокупности на внутригрупповой разброс: она даёт положительный отклик на уплотнение групп, не содержит произвольного параметра размера группы и на данных рейтинга совпадает по направлению с обеими каноническими мерами, однако сохраняет чувствительность к крайним наблюдениям. Практическое значение результатов состоит в протоколе верификации из шести элементов, позволяющем отделить содержательные выводы о пространственном развитии от артефактов конструкции измерителя. Дальнейшие исследования связаны с проверкой выявленного смещения на непрерывных рядах региональной статистики и с построением поправки, устойчивой к хвостам распределения [4; 5; 30].

Список литературы

1. Москвина, О. С. Пространственная поляризация как фактор инновационного развития регионов Российской Федерации // Экономические отношения. 2019. Т. 9, № 4. С. 2937–2952. DOI: 10.18334/eo.9.4.41425.
2. Джалалов, Р. Г., Бугаева, Т. М., Сумликина, А. Оценка инновационной деятельности регионов России: методы, проблемы и перспективы // π-Economy. 2025. Т. 18, № 3. С. 100–112. DOI: 10.18721/JE.18306.
3. Wolfson, M. C. When Inequalities Diverge // American Economic Review. 1994. Vol. 84, No. 2. P. 353–358.
4. Esteban, J.-M., Ray, D. On the Measurement of Polarization // Econometrica. 1994. Vol. 62, No. 4. P. 819–851.
5. Duclos, J.-Y., Esteban, J., Ray, D. Polarization: Concepts, Measurement, Estimation // Econometrica. 2004. Vol. 72, No. 6. P. 1737–1772. DOI: 10.1111/j.1468-0262.2004.00552.x.
6. Wolfson, M. C. Divergent Inequalities: Theory and Empirical Results // Review of Income and Wealth. 1997. Vol. 43, No. 4. P. 401–421. DOI: 10.1111/j.1475-4991.1997.tb00233.x.
7. Кузин, В. Ю. Виды поляризации и современные особенности их исследования // Вестник Удмуртского университета. Серия Биология. Науки о Земле. 2022. Т. 32, вып. 4. С. 494–503. DOI: 10.35634/2412-9518-2022-32-4-494-503.
8. Чекмарёва, Е. А., Россошанский, А. И. Оценка поляризации доходов населения на основе восстановления параметров функции распределения // Вопросы статистики. 2015. № 12. С. 36–43.
9. Fedorov, L. Regional Inequality and Regional Polarization in Russia, 1990–99 // World Development. 2002. Vol. 30, No. 3. P. 443–456.
10. Малкина, М. Ю. Оценка факторов конвергенции и дивергенции российских регионов по уровню бюджетной обеспеченности на основе декомпозиции индексов Тейла-Бернулли // Пространственная экономика. 2016. № 3. С. 16–37. DOI: 10.14530/se.2016.3.016-037.
11. Дмитриев, С. Г., Севрюкова, С. В., Милованович, Н. Г. Межрегиональное неравенство по уровню денежных доходов населения России // Креативная экономика. 2024. Т. 18, № 1. С. 29–58. DOI: 10.18334/ce.18.1.120330.
12. Алтунина, В. В., Анучина, Д. А. Классификация регионов Российской Федерации в контексте пространственной поляризации // Экономика, предпринимательство и право. 2022. Т. 12, № 5. С. 1453–1474. DOI: 10.18334/epp.12.5.114641.
13. Алтунина, В. В., Анучина, Д. А. Оценка уровня пространственной поляризации российских регионов // Экономика, предпринимательство и право. 2023. № 5. URL: https://1economic.ru/lib/117516 (дата обращения: 17.08.2026).
14. Рейтинг инновационного развития субъектов Российской Федерации. Выпуск 3 / под ред. Л. М. Гохберга; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». Москва: НИУ ВШЭ, 2015. 248 с. ISBN 978-5-7598-1286-9. URL: https://region.hse.ru/rankingid15 (дата обращения: 17.08.2026).
15. Рейтинг инновационного развития субъектов Российской Федерации. Выпуск 5 / под ред. Л. М. Гохберга; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». Москва: НИУ ВШЭ, 2017. 260 с. ISBN 978-5-7598-1591-4. URL: https://region.hse.ru/rankingid17 (дата обращения: 17.08.2026).
16. Рейтинг инновационного развития субъектов Российской Федерации. Выпуск 6 / под ред. Л. М. Гохберга; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». Москва: НИУ ВШЭ, 2020. ISBN 978-5-7598-1987-5. URL: https://region.hse.ru/rankingid19 (дата обращения: 17.08.2026).
17. Рейтинг инновационного развития субъектов Российской Федерации. Выпуск 7 / В. Л. Абашкин, Г. И. Абдрахманова, С. В. Бредихин и др.; под ред. Л. М. Гохберга; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». Москва: НИУ ВШЭ, 2021. 274 с. ISBN 978-5-7598-2390-2. URL: https://www.hse.ru/mirror/pubs/share/492403134.pdf (дата обращения: 17.08.2026).
18. Рейтинг инновационного развития субъектов Российской Федерации. Выпуск 8 / В. Л. Абашкин, Г. И. Абдрахманова, С. В. Бредихин и др.; под ред. Л. М. Гохберга; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». Москва: ИСИЭЗ ВШЭ, 2023. 260 с. ISBN 978-5-7598-3000-9. URL: https://issek.hse.ru/mirror/pubs/share/879447941.pdf (дата обращения: 17.08.2026).
19. Рейтинг инновационного развития субъектов Российской Федерации. Выпуск 9 / В. Л. Абашкин, Г. И. Абдрахманова, С. В. Артёмов и др.; под ред. Л. М. Гохберга, Е. С. Куценко; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». Москва: ИСИЭЗ ВШЭ, 2024. 248 с. ISBN 978-5-7598-3021-4. URL: https://issek.hse.ru/mirror/pubs/share/949132853.pdf (дата обращения: 17.08.2026).
20. Рейтинг инновационного развития субъектов Российской Федерации. Выпуск 10 / В. Л. Абашкин, Г. И. Абдрахманова, С. В. Артёмов и др.; под ред. Л. М. Гохберга, Е. С. Куценко; Нац. исслед. ун-т «Высшая школа экономики». Москва: ИСИЭЗ ВШЭ, 2025. ISBN 978-5-7598-3113-6. URL: https://issek.hse.ru/mirror/pubs/share/1068200858.pdf (дата обращения: 17.08.2026).
21. Handbook on Constructing Composite Indicators: Methodology and User Guide / OECD, European Union, EC-JRC. Paris: OECD Publishing, 2008. 162 p. DOI: 10.1787/9789264043466-en.
22. Saisana, M., Saltelli, A., Tarantola, S. Uncertainty and Sensitivity Analysis Techniques as Tools for the Quality Assessment of Composite Indicators // Journal of the Royal Statistical Society: Series A (Statistics in Society). 2005. Vol. 168, No. 2. P. 307–323. DOI: 10.1111/j.1467-985X.2005.00350.x.
23. Kendall, M. G. A New Measure of Rank Correlation // Biometrika. 1938. Vol. 30, No. 1/2. P. 81–93. DOI: 10.1093/biomet/30.1-2.81.
24. Foster, J. E., Wolfson, M. C. Polarization and the Decline of the Middle Class: Canada and the U.S. // Journal of Economic Inequality. 2010. Vol. 8, No. 2. P. 247–273. DOI: 10.1007/s10888-009-9122-7.
25. Zhang, X., Kanbur, R. What Difference Do Polarisation Measures Make? An Application to China // Journal of Development Studies. 2001. Vol. 37, No. 3. P. 85–98.
26. Chakravarty, S. R. Inequality, Polarization and Poverty: Advances in Distributional Analysis. New York: Springer, 2009.
27. Foster, J. E., McGillivray, M., Seth, S. Composite Indices: Rank Robustness, Statistical Association, and Redundancy // Econometric Reviews. 2013. Vol. 32, No. 1. P. 35–56. DOI: 10.1080/07474938.2012.690647.
28. Alichi, A., Kantenga, K., Solé, J. Income Polarization in the United States. IMF Working Paper WP/16/121. Washington: International Monetary Fund, 2016.
29. Бабич, С. Г. Индексный анализ дифференциации регионов РФ по основным показателям инновационной деятельности // Статистика и Экономика. 2017. № 2. С. 3–13. DOI: 10.21686/2500-3925-2017-2-3-13.
30. Esteban, J., Gradín, C., Ray, D. An Extension of a Measure of Polarization, with an Application to the Income Distribution of Five OECD Countries // Journal of Economic Inequality. 2007. Vol. 5, No. 1. P. 1–19. DOI: 10.1007/s10888-006-9032-x.

References

1. Moskvina, O. S. Spatial Polarization as a Factor of Innovative Development of Regions of the Russian Federation. [Prostranstvennaya polyarizatsiya kak faktor innovatsionnogo razvitiya regionov Rossiyskoy Federatsii]. // Journal of International Economic Relations [Ekonomicheskie otnosheniya]. 2019. Vol. 9, No. 4. P. 2937–2952. DOI: 10.18334/eo.9.4.41425.
2. Dzhalalov, R. G., Bugaeva, T. M., Sumlikina, A. Assessment of Innovation Activity of Russian Regions: Methods, Problems and Prospects. [Otsenka innovatsionnoy deyatelnosti regionov Rossii: metody, problemy i perspektivy]. // π-Economy. 2025. Vol. 18, No. 3. P. 100–112. DOI: 10.18721/JE.18306.
3. Wolfson, M. C. When Inequalities Diverge. // American Economic Review. 1994. Vol. 84, No. 2. P. 353–358.
4. Esteban, J.-M., Ray, D. On the Measurement of Polarization. // Econometrica. 1994. Vol. 62, No. 4. P. 819–851.
5. Duclos, J.-Y., Esteban, J., Ray, D. Polarization: Concepts, Measurement, Estimation. // Econometrica. 2004. Vol. 72, No. 6. P. 1737–1772. DOI: 10.1111/j.1468-0262.2004.00552.x.
6. Wolfson, M. C. Divergent Inequalities: Theory and Empirical Results. // Review of Income and Wealth. 1997. Vol. 43, No. 4. P. 401–421.
7. Kuzin, V. Yu. Types of Polarization and Modern Features of Their Study. [Vidy polyarizatsii i sovremennye osobennosti ikh issledovaniya]. // Bulletin of Udmurt University. Series Biology. Earth Sciences [Vestnik Udmurtskogo universiteta. Seriya Biologiya. Nauki o Земле]. 2022. Vol. 32, Iss. 4. P. 494–503. DOI: 10.35634/2412-9518-2022-32-4-494-503.
8. Chekmareva, E. A., Rossoshanskiy, A. I. Assessment of Population Income Polarization Based on the Restoration of Distribution Function Parameters. [Otsenka polyarizatsii dokhodov naseleniya na osnove vosstanovleniya parametrov funktsii raspredeleniya]. // Voprosy Statistiki. 2015. No. 12. P. 36–43.
9. Fedorov, L. Regional Inequality and Regional Polarization in Russia, 1990–99. // World Development. 2002. Vol. 30, No. 3. P. 443–456.
10. Malkina, M. Yu. Assessment of Factors of Convergence and Divergence of Russian Regions by the Level of Fiscal Capacity Based on the Decomposition of Theil-Bernoulli Indices. [Otsenka faktorov konvergentsii i divergentsii rossiyskikh regionov po urovnyu byudzhetnoy obespechennosti na osnove dekompozitsii indeksov Teyla-Bernulli]. // Spatial Economics [Prostranstvennaya ekonomika]. 2016. No. 3. P. 16–37. DOI: 10.14530/se.2016.3.016-037.
11. Dmitriev, S. G., Sevryukova, S. V., Milovanovich, N. G. Interregional Inequality by the Level of Money Income of the Population of Russia. [Mezhregionalnoe neravenstvo po urovnyu denezhnykh dokhodov naseleniya Rossii]. // Creative Economy [Kreativnaya ekonomika]. 2024. Vol. 18, No. 1. P. 29–58. DOI: 10.18334/ce.18.1.120330.
12. Altunina, V. V., Anuchina, D. A. Classification of Regions of the Russian Federation in the Context of Spatial Polarization. [Klassifikatsiya regionov Rossiyskoy Federatsii v контексте prostranstvennoy polyarizatsii]. // Journal of Economics, Entrepreneurship and Law [Ekonomika, predprinimatelstvo i pravo]. 2022. Vol. 12, No. 5. P. 1453–1474. DOI: 10.18334/epp.12.5.114641.
13. Altunina, V. V., Anuchina, D. A. Assessing the Level of Spatial Polarization of Russian Regions. [Otsenka urovnya prostranstvennoy polyarizatsii rossiyskikh regionov]. // Journal of Economics, Entrepreneurship and Law [Ekonomika, predprinimatelstvo i pravo]. 2023. No. 5. URL: https://1economic.ru/lib/117516 (accessed: 17.08.2026).
14. Rating of Innovation Development of the Subjects of the Russian Federation. Issue 3. [Reyting innovatsionnogo razvitiya subyektov Rossiyskoy Federatsii. Vypusk 3]. / ed. by L. M. Gokhberg; National Research University Higher School of Economics. Moscow: HSE, 2015. 248 p. ISBN 978-5-7598-1286-9. URL: https://region.hse.ru/rankingid15 (accessed: 17.08.2026).
15. Rating of Innovation Development of the Subjects of the Russian Federation. Issue 5. [Reyting innovatsionnogo razvitiya subyektov Rossiyskoy Federatsii. Vypusk 5]. / ed. by L. M. Gokhberg; National Research University Higher School of Economics. Moscow: HSE, 2017. 260 p. ISBN 978-5-7598-1591-4. URL: https://region.hse.ru/rankingid17 (accessed: 17.08.2026).
16. Rating of Innovation Development of the Subjects of the Russian Federation. Issue 6. [Reyting innovatsionnogo razvitiya subyektov Rossiyskoy Federatsii. Vypusk 6]. / ed. by L. M. Gokhberg; National Research University Higher School of Economics. Moscow: HSE, 2020. ISBN 978-5-7598-1987-5. URL: https://region.hse.ru/rankingid19 (accessed: 17.08.2026).
17. Rating of Innovation Development of the Subjects of the Russian Federation. Issue 7. [Reyting innovatsionnogo razvitiya subyektov Rossiyskoy Federatsii. Vypusk 7]. / V. L. Abashkin, G. I. Abdrakhmanova, S. V. Bredikhin et al.; ed. by L. M. Gokhberg; National Research University Higher School of Economics. Moscow: HSE, 2021. 274 p. ISBN 978-5-7598-2390-2. URL: https://www.hse.ru/mirror/pubs/share/492403134.pdf (accessed: 17.08.2026).
18. Rating of Innovation Development of the Subjects of the Russian Federation. Issue 8. [Reyting innovatsionnogo razvitiya subyektov Rossiyskoy Federatsii. Vypusk 8]. / V. L. Abashkin, G. I. Abdrakhmanova, S. V. Bredikhin et al.; ed. by L. M. Gokhberg; National Research University Higher School of Economics. Moscow: ISSEK HSE, 2023. 260 p. ISBN 978-5-7598-3000-9. URL: https://issek.hse.ru/mirror/pubs/share/879447941.pdf (accessed: 17.08.2026).
19. Rating of Innovation Development of the Subjects of the Russian Federation. Issue 9. [Reyting innovatsionnogo razvitiya subyektov Rossiyskoy Federatsii. Vypusk 9]. / V. L. Abashkin, G. I. Abdrakhmanova, S. V. Artemov et al.; ed. by L. M. Gokhberg, E. S. Kutsenko; National Research University Higher School of Economics. Moscow: ISSEK HSE, 2024. 248 p. ISBN 978-5-7598-3021-4. URL: https://issek.hse.ru/mirror/pubs/share/949132853.pdf (accessed: 17.08.2026).
20. Rating of Innovation Development of the Subjects of the Russian Federation. Issue 10. [Reyting innovatsionnogo razvitiya subyektov Rossiyskoy Federatsii. Vypusk 10]. / V. L. Abashkin, G. I. Abdrakhmanova, S. V. Artemov et al.; ed. by L. M. Gokhberg, E. S. Kutsenko; National Research University Higher School of Economics. Moscow: ISSEK HSE, 2025. ISBN 978-5-7598-3113-6. URL: https://issek.hse.ru/mirror/pubs/share/1068200858.pdf (accessed: 17.08.2026).
21. Handbook on Constructing Composite Indicators: Methodology and User Guide. OECD, European Union, EC-JRC. Paris, OECD Publishing, 2008. 162 p. DOI: 10.1787/9789264043466-en.
22. Saisana M., Saltelli A., Tarantola S. Uncertainty and Sensitivity Analysis Techniques as Tools for the Quality Assessment of Composite Indicators. Journal of the Royal Statistical Society: Series A (Statistics in Society), 2005, vol. 168, no. 2, pp. 307–323. DOI: 10.1111/j.1467-985X.2005.00350.x.
23. Kendall M. G. A New Measure of Rank Correlation. Biometrika, 1938, vol. 30, no. 1/2, pp. 81–93. DOI: 10.1093/biomet/30.1-2.81.
24. Foster J. E., Wolfson M. C. Polarization and the Decline of the Middle Class: Canada and the U.S. Journal of Economic Inequality, 2010, vol. 8, no. 2, pp. 247–273. DOI: 10.1007/s10888-009-9122-7.
25. Zhang X., Kanbur R. What Difference Do Polarisation Measures Make? An Application to China. Journal of Development Studies, 2001, vol. 37, no. 3, pp. 85–98.
26. Chakravarty S. R. Inequality, Polarization and Poverty: Advances in Distributional Analysis. New York, Springer, 2009.
27. Foster J. E., McGillivray M., Seth S. Composite Indices: Rank Robustness, Statistical Association, and Redundancy. Econometric Reviews, 2013, vol. 32, no. 1, pp. 35–56. DOI: 10.1080/07474938.2012.690647.
28. Alichi A., Kantenga K., Solé J. Income Polarization in the United States. IMF Working Paper WP/16/121. Washington, International Monetary Fund, 2016.
29. Babich S. G. Index analysis of differentiation of Russian regions by the main indicators of innovation activity. Statistika i Ekonomika, 2017, no. 2, pp. 3–13. DOI: 10.21686/2500-3925-2017-2-3-13. (In Russ.)
30. Esteban J., Gradín C., Ray D. An Extension of a Measure of Polarization, with an Application to the Income Distribution of Five OECD Countries. Journal of Economic Inequality, 2007, vol. 5, no. 1, pp. 1–19. DOI: 10.1007/s10888-006-9032-x.